変化球が曲がるのはなぜかを調査（3.計算編）
最後に、変化球の軌道の計算を行ってみました。もちろん厳密なものではなく、前回・前々回の内容を踏まえて、なんとなくやってみたもの。計算式が多いので、興味のある方だけ読み進めてください。
まず運動方程式より、以下の式が成り立ちます。
Fは力、mはボールの質量、aは加速度、vはボールの速度、tは時間です。さらに速度の定義より、
xは距離です。これらの式から、以下の式が導けます。
上の式により、時刻t=0から順々に速度と位置を追っていけます。ボールの質量mは145 g、時間間隔dtは0.001秒とでもしておいて、大切なのは力Fです。改めてボールに働く力を確認します。
・重力
下向き（以下、-y方向）の力です。
・抗力
ボールの進む方向と逆（以下、-z方向）の力です。
CDは抗力係数、ρは空気の密度、Aはボールの断面積です。抗力係数はスピンパラメータSP（ボールの回転速度とボールの速度の比、SP=2πrf/v）によって変わります。詳しくは前々回に説明しましたが、SPが大きくなるにしたがって抗力は減少→増加します。
・揚力
抗力と似た式ですが、揚力は以下の式で表されます。
CLは揚力係数です。抗力係数もSPによって変わります。縫い目のある野球ボールの場合、揚力係数とSPはだいたい比例関係にあります。
さて揚力の向きですが、前々回の説明ではバックスピンを例にとり、上向きの揚力が発生していました。しかしスライダー回転ならば左方向（右投手の場合）への揚力が発生します。フレミングの左手の法則ならぬ右手の法則を使い、人差し指をボールの進行方向、親指を回転軸に合わせたときに、中指の向く方向が揚力の方向なのです。
ここで、ボールの回転軸の角度を表すパラメータを導入します。
回転軸が3塁方向を向いているとき（φ=0、θ=0）、揚力は上方向となります。また回転軸が上方向を向いているとき（φ=90°）、揚力は1塁方向となります。よって3塁方向の揚力と上方向の揚力はそれぞれ以下のように表せます。
回転軸の角度を持ち出したついでに、抗力係数についても補正をかけます。ジャイロボールの件で触れましたが、ボールがジャイロ回転すると抗力係数は小さくなります。ボールの回転軸と抗力係数の関係についた論文を見つけられなかったので、ざっくり直線にしてしまいました。回転軸が完全に進行方向と垂直の場合はCDは1倍、進行方向と平行の場合はCDを0.71倍にします。
また抗力係数と揚力係数の値については、いくつかの論文を参考にしつつ、こちらもえいやと直線を引いて勝手に決めました。
言い忘れましたが、これらの抗力係数・揚力係数の関係が適用されるのは、ボールの回転速度が速い場合です。ボールの回転速度が遅い場合、というかナックルの場合の抗力係数・揚力係数はこちら（再掲）。
さて、以上をまとめると、ボールに働く力は以下のように書けます。
・x軸方向（3塁方向）…揚力
・y軸方向（上方向）…揚力＆重力
・z軸方向（進行方向）…抗力
※抗力係数・揚力係数はグラフの通り、抗力係数はジャイロ補正をかける
この力をもとにそれぞれの方向の速度、そして位置を求めます。
この計算をしてみた結果を下に載せます。リリースポイントをx=0m 、y=1.8m（ざっくり投手の背の高さ）、z=0.6m（投げるときはプレートから一歩踏み出すので）、重力も揚力も抗力も働かないときのゴール地点をx=0m 、y=1.8m、z=18.44mとしました。ちなみに球速・回転数・回転軸のデータは以下の論文の結果を使わせていただきました。大学生や社会人、プロの投手が投げた球を観測した結果だそうです。
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球速[km/h] |
回転数[rpm] |
方位角[°] |
仰俯角[°] |
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ストレート（フォーシーム） |
133 |
33.7 |
27 |
-32 |
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スライダー |
117 |
35.4 |
98 |
19 |
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カーブ |
103 |
34.6 |
140 |
30 |
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チェンジアップ |
118 |
21.0 |
32 |
-55 |
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フォーク |
121 |
15.8 |
64 |
-45 |
|
124 |
34.4 |
74 |
-1 |
|
|
129 |
27.8 |
25 |
-44 |
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スプリット |
125 |
20.8 |
49 |
-32 |
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シュート |
129 |
29.9 |
25 |
-41 |
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シンカー |
116 |
25.2 |
96 |
-79 |
こちらが計算したボールの軌道となります。左下がピッチャーから見た軌道、右下が打者から見た軌道、赤枠はストライクゾーン（だいたい）です。
計算結果を簡単にまとめたいと思います。
・ストレート
全球種の中で最も球速が速いので、打者の手元に届くまでの時間は最も短いです。バックスピンがもっとも効いているので上向きの揚力が大きく、全球種の中で最も高い位置に落ち着きます。そしてやはりシュート回転をして、けっこう右に曲がっていますね。
・スライダー
スライダー回転により左に曲がって行きます。球速は遅い方なので到達時間が遅く、また重力の影響を長く受けるのでけっこう落ちています。
・カーブ
唯一のトップスピンにより下向きの揚力が発生するので、他の球種に比べて大きく落ちています。グラフに入りきらずに地面にめり込んでしまいました。また上の図を見てもわかりますが、かなり球速が遅いです。
・チェンジアップ
横の移動量はストレートとほぼ同じですが、ストレートよりもかなり球速が遅いです。そして落ちます。
・フォーク
球速はチェンジアップよりも速いのに、チェンジアップと同じくらい落ちています。チェンジアップが遅い球、フォークが落ちる球というイメージ通りですね。
前回の説明でストレートとスライダーの間のような球種と書きましたが、まさにその通りの結果となりました。シュート回転のストレートとスライダー回転のスライダーの間ということで、横の変位量はほぼ0。縦の変化もストレートとスライダーの間くらいで、球速もストレートとスライダーの間です。
ストレートよりも若干球速が遅く、シュート回転により右へ移動し、また落ちています。
・スプリット
前回の説明ではストレートとフォークの間という話をしましたが、こちらもその通りとなりました。どちらかというとフォークの方が近いです。フォークよりは速い球速で、フォークほどは落ちません。
・シュート
シュート回転によりストレートより右へ移動します。前回も触れましたが、ツーシームとほぼ同じですね。
・シンカー
シュートよりも右に曲がり、またかなり落ちています。ちょうどスライダーと左右対称のような動きです。
永見智行、木村康宏、彼末一之、矢内利政、“野球投手が投じる様々な球種の運動学的特徴”、体育学研究 61(2)、589-605、(2016)
またナックルについての計算結果はこちら。
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球速[km/h] |
回転数[rpm] |
方位角[°] |
仰俯角[°] |
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ナックル |
140 |
0.6 |
0 |
90 |
左、右、左、と見事にゆらゆらと揺れているのがわかります。もっとも、ゆらゆらと揺れるように球速や回転数や回転軸やゴール地点を調整したので（ナックルのデータは論文からもってきたものではありません）。ただこの球速、回転数、回転軸で投げれば、ゆらゆらと揺れるナックルが投げられるということです。
ちなみにこの計算の精度について、Baseball Geeksというサイトに載っていたデータと比べてみました。
×がBaseball Geeksのデータ、●が今回の計算結果です。まあBaseball Geeksのデータは2016年のMLBの平均値で、今回の計算結果は大学生・社会人・プロ数十名の平均値なので単純に比較はできませんが（球速などはMLBよりかなり遅いと思われます）・・・ともかく見ての通りです。だいたいの傾向は同じ感じですが、カーブやスライダーは計算では曲がりすぎなような気もします。ざっくり計算なので、お許しください。
